প্রোগ্রামিং কন্টেস্টে আমাদের অনেক সময় ৩ বা ৪ বা এরচেয়েও বেশি লুপ এর কোড লিখতে হয়। ব্যাসিকালি ব্রুটফোর্স যাকে বলে। এখন আমরা যেই টেকনিক দেখবো, এটি এরকম একাধিক লুপ এর প্রব্লেমকে কম সময়ে সল্ভ করে দিতে পারবে।
উপরের প্রবেল্মগুলি আমরা নরমালি বারে বারে লুপ চালায়ে সল্ভ করতে পারবো তখনি, যখন রেঞ্জ কম হবে, যা আমাদের given time এর মাঝে সল্ভ করা সম্ভব হয়। আমরা ব্রুটফোর্স এর ব্যাপারগুলি বাদ দিয়ে সরাসরি আমাদের স্লাইডিং উইন্ডো টেকনিক এ চলে আসি, যা কিনা O (n) সময়ে সল্ভ করতে সক্ষম।
স্লাইডিং উইন্ডো সমস্যার বিভিন্ন রূপ আছে। কিন্তু তাদের সবারই একটি কমন বৈশিষ্ট আছে : একটি সাব-অ্যারেকে (আমরা একে 'উইন্ডো' বলে থাকি, যা স্ট্যাটিক বা ডাইনামিক দৈর্ঘ্য থাকতে পারে) আমরা n সংখ্যক উপাদানগুলির অ্যারে এর বাম থেকে ডান দিকে লিনিয়ারভাবে সরায়ে কিছু কম্পিউট করার চেষ্টা করবো। এভাবে উইন্ডো স্লাইড করার টেকনিক কেই স্লাইডিং উইন্ডো বলে। স্লাইডিং উইন্ডোর অনেক রকম ভ্যারিয়েশন আছে। যেমন ঃ
- একটি অ্যারের মাঝে ফিক্সড সাইজের কোন সাব-অ্যারের ম্যাক্সিমাম সামেশন বের করা। যেমন ঃ অ্যারে A = {10, 40, 10, 30, 20} এবং উইন্ডো সাইজ w = 3 হলে, মাক্সিমাম সামেশন = 40+10+30 = 80.
- একটি অ্যারের মাঝে ফিক্সড সাইজের সকল সাব-অ্যারের ম্যাক্সিমাম অথবা মিনিমাম সংখ্যা বের করা। যেমন ঃ
অ্যারে A = {0, 5, 5, 3, 10, 0, 4} , n = 7 এবং উইন্ডো সাইজ w = 3, হলে এখানে n-w+1 = 5 টি ভিন্ন ভিন্ন সাব-অ্যারে আছে যাদের সাইজ = 3; {0, 5, 5}, {5, 5, 3}, {5, 3, 10}, {3, 10, 0}, {10, 0, 4}. এবং আমরা এদের ম্যাক্সিমাম সংখ্যা বের করতে চাইলে এগুলি হবে ঃ 5, 5, 10, 10, 10 প্রতি সাব-অ্যারের জন্যে। - একটি অ্যারের মাঝে এমন মিনিমাম দৈর্ঘ্যের সাব-অ্যারে বের কর, যার এলেমেন্ট এর সাম, নির্দিষ্ট কোন সাম S থেকে বড়/ সমান/ ছোট হয়। যেমন ঃ অ্যারে A = {5, 1, 2, 3, 4, 2} এবং S = 7 হলে,
মিনিমাম দৈর্ঘ্য == 7 : 2, {5, 1, 2, 3, 4, 2}
মিনিমাম দৈর্ঘ্য > 7 : 3, {5, 1, 2, 3, 4, 2} , {5, 1, 2, 3, 4, 2}, {5, 1, 2, 3, 4, 2}
মিনিমাম দৈর্ঘ্য < 7 : 1, {5, 1, 2, 3, 4, 2} ; যেকোনটাই হতে পারে। - একটি অ্যারের মাঝে এমন মিনিমাম দৈর্ঘ্যের সাব-অ্যারে বের কর যাতে [ 1 to w ] পর্যন্ত সকল সংখ্যা কমপক্ষে একবার করে হলেও থাকবে। যেমনঃ A = {1, 2, 3, 7, 1, 12, 9, 11, 9, 6, 3, 7, 5, 4, 5, 3, 1, 10} এবং w = 4, আমরা 13 length এর একটি সাব-অ্যারে পাবো, যাতে 1, 2, 3, 4 আছে। এই সেইম অ্যারের জন্যে যদি w = 3 হয়, তাহলে A = {1, 2, 3, 7, 1, 12, 9, 11, 9, 6, 3, 7, 5, 4, 5, 3, 1, 10} আমরা 3 length এর একটি সাব-অ্যারে পাবো।
উপরের প্রবেল্মগুলি আমরা নরমালি বারে বারে লুপ চালায়ে সল্ভ করতে পারবো তখনি, যখন রেঞ্জ কম হবে, যা আমাদের given time এর মাঝে সল্ভ করা সম্ভব হয়। আমরা ব্রুটফোর্স এর ব্যাপারগুলি বাদ দিয়ে সরাসরি আমাদের স্লাইডিং উইন্ডো টেকনিক এ চলে আসি, যা কিনা O (n) সময়ে সল্ভ করতে সক্ষম।
১ম টেকনিক (First Technique):
আমরা প্রথমে উইন্ডো তে আমাদের প্রথম w টি ইন্টিজার ইন্সার্ট করে দিলাম এবং এদের সাম বের করে তাকে curr_sum ভ্যারিয়েবল এ রাখলাম। এরপরে আমরা স্লাইড করে করে আগাবো। আমরা ডান পাশে একটি একটি করে এলেমেন্ট উইন্ডো তে ইন্সার্ট করবো এবং বাম দিক থেকে একটি করে সরায়ে দিব, ফলে আমাদের উইন্ডোর সাইজ সেইম থাকবে।এলেমেন্ট ইন্সার্ট এর সময় আমরা চেক রাখবো যে এখন আমরা ম্যাক্সিমাম সাম পেলাম কিনা। প্রতিবার ইন্সার্ট করার সময় আমাদের নতুন সাম হবে curr_sum + inserted_element - removed_element. এভাবে আমরা পুরো অ্যারেকে স্লাইড করে রেসাল্ট পাবো।
২য় টেকনিক (Second Technique):
যদি n এর মান অনেক বড় হয়, সকল সাব-অ্যারের মাক্স/মিন বের করা একটু কঠিন হবে। এজন্য আমরা deque (double ended queue) ব্যবহার করবো। এখন আমাদের উইন্ডো হবে আমাদের deque টি। আমরা deque কে ascending order ( ছোট থেকে বড় ) এ সাজাবো ( যদি মিন বের করতে চাই)। deque এর প্রথম দিকে আমাদের মিনিমাম এলেমেন্ট গুলি থাকবে। কিন্তু এভাবে কাজ করতে গেলে একটি বড় প্রব্লেম হল, আমাদের মূল অ্যারের ইন্ডেক্সগুলি উল্টাপাল্টা হয়ে যাবে, এজন্য আমাদের ইন্ডেক্স এর ট্র্যাক রাখতে হবে যাতে আমরা বুঝতে পারি যে, এলেমেন্ট উইন্ডো তে আছে কি নাই। নিচের একটি স্যাম্পল কোড দেয়া হল ঃ
৩য় টেকনিক (Third Technique):
আমরা একটি ডাইনামিক সাইজ উইন্ডো মেইন্টেইন করবো, যেখানে ভ্যালু যোগ করতে থাকবো। মিন/ ম্যাক্স/ ইকুয়াল, কোন এক কন্ডিশন পেলে আমরা আমাদের মিনিমাম উইন্ডো সাইজ পেয়ে যাবো। প্রোগ্রাম এ কি চাওয়া হয়েছে তার উপরে ভিত্তি করে আমাদের কোড এ কন্ডিশন এর পরিবর্তন হবে। এখানে আমরা ১ম টেকনিক এর মত করে ইন্সার্ট করতে থাকবো এবং কন্ডিশন চেক করবো। আর এলেমেন্ট উইন্ডোতে আছে কিনা, উইন্ডো সাইজ কি আমাদের মূল অ্যারে থেকে বড় হয়ে গেলো কিনা - এসব আমরা ২য় টেকনিক এর মত একটি deque নিয়ে চেক করতে পারি।
৪র্থ টেকনিক (Fourth Technique):
আমরা এমন একটি উইন্ডো মেইন্টেইন করবো যা কিনা 1 to w সকল সংখ্যা যদি না পাই, উইন্ডো সাইজ বারাতে থাকবে, নাহলে সাইজ কমাতে থাকবে। আমরা মিনিমাম উইন্ডো সাইজের ট্র্যাক রাখবো। 1 to w সকল এলেমেন্ট পেয়ে গেলাম কিনা এটি আমরা নরমাল একটি ফ্রিকুয়েন্সি কাউন্টের মাধ্যমে করতে পারি। যখন সকল এলেমেন্ট এর কাউন্ট >0 হবে, তখন আমরা আমাদের মিনিমাম উইন্ডো সাইজ রিটার্ন করে দিবো।
প্র্যাক্টিস প্রব্লেম (Practice Problems):
৩য় টেকনিক টা কি O(n) এ করা সম্ভব???
ReplyDelete