Magic Square Part - 1

ম্যাজিক স্কয়ার কি? ( What is Magic Square? )

একটি  N x N ২ডি গ্রিড এ 1 থেকে N পর্যন্ত সংখাগুলোকে প্রতিটি কেবলমাত্র একবার ব্যবহার করে এমনভাবে সাজাতে হবে, যাতে ঐ গ্রিড এর প্রতিটি সারি, কলাম এবং কর্ণ গুলির যোগফল সমান হয়। এখন এরকম অনেকরকম সাজানো যেতে পারে, আমাদের এমন একটি স্টেট বের করতে হবে, যেটায় এই যোগফল সবচেয়ে কম হয়।

ম্যাজিক কন্সটেন্ট ( Magic Constant )

ম্যাজিক কন্সটেন্ট হল সেই সর্বনিম্ন সংখ্যা যেটা আমাদের গ্রিড এর জন্য বের করতে হবে। এখন গ্রিড N x N হলে,
ম্যাজিক কন্সটেন্ট, c = N * [ ( N² + 1 ) / 2 ]
সুতরাং, N = 3 হলে, c = 3 * [  ( 9 + 1 ) / 2 ] = 3 * [ 10 / 2 ] = 3 * 5 = 15
কাজেই সব সারি, কলাম, কর্ণ এর যোগফল অবশ্যই ১৫ হতে হবে।

বেজোড় সংখ্যক গ্রিডের ম্যাজিক স্কয়ার সমাধান ( Solving Odd-Numbered Magic Square )

 প্রথম ধাপ ঃ গ্রিড এর প্রথম সারির একদম মাঝের কলামে ১ বসাই।

আমরা একটি 3 x 3 গ্রিড এর জন্য করবো। 7 x 7 এর জন্য 4th কলামে আমরা 1 বসাবো, এরকমভাবে।
বেজোড় সারি-কলামের ক্ষেত্রে আমরা সবসময় এভাবে শুরু করবো।

দ্বিতীয় ধাপঃ আমরা সবসময় sequencially ১ থেকে n পর্যন্ত বসাবো। এখন, ১ বসানোর পরে আমরা একবার কলাম, একবার সারি, এভাবে ধাপে ধাপে সিরিয়ালি বসাবো। নিচের উদাহরন দেখলে বিষয়টা বুঝা যাবেঃ

২ আমরা এভাবে বসাবো। ১ এর ঠিক পরের কলাম এবং সবার শেষের সারিতে ২ বসবে। এরপরে আমরা বাকি সংখ্যাগুলি ২ এর পরের কলাম, এবং আগের সারিতে, এভাবে বসাবো। অর্থাৎ আমরা নিচ থেকে উপরে উঠবো। এখন কথা হচ্ছে, ২ এর পরে আর কলাম নেই, এটা একটি ব্যাতিক্রম। এরকম ৩ ধরনের ক্ষেত্র আছে, যেগুলি একটু খেয়াল করলে আমরা সহজে হ্যান্ডেল করতে পারবো।

প্রথম ব্যাতিক্রমঃ আমরা এখন হিসাব অনুযায়ী ৩ নং কলাম এবং ২ নং সারিতে যাবো। কিন্তু আমাদের এটি গ্রিড এর বাইরে, কাজেই আমাদের ঐ সারিতে থাকবো ঠিকই, কিন্তু ডান দিকে না গিয়ে আমরা একদম সবচেয়ে বামদিকের ঘরে বসাবো।

 ছবি দেখে আমরা বুঝতে পারবো ব্যাপারটা। ৩ এর জন্য ঘর গ্রিড এ নাই, কাজেই আমরা ২ নং সারিতে থাকবো ঠিকই, কিন্তু, একদম বামে চলে যাবো, আসলে ব্যাপারটা ঠিক বামে না, আমাদের যে দিকে যাবার কথা, তার বিপরীত দিকে যাবো। কাজেই কলাম ১ এ চলে আসলাম।

দ্বিতীয় ব্যাতিক্রমঃ এখন আমাদের ৪ বসানোর জন্য আবার ঝামেলায় পরে গেলাম। আমাদের উপরের সারিতে এবং পরের কলামে যাওয়ার কথা, কিন্তু সেখানে আগে থেকেই ১ আমরা লিখে রেখেছি। এরকম অবস্থা হলে সেটি হল দ্বিতীয় ব্যাতিক্রম। এজন্য আমরা যেখানে বর্তমানে আছি, তার ঠিক নিচের সারিতে পরের মান বসাবো, এক্ষেত্রে কলাম একই থাকবে। অর্থাৎ ৪ কে আমরা ৩ এর নিচে বসাবো এভাবে ঃ

এখন আমরা দেখতে পাচ্ছি আমাদের মূল যেভাবে বসানোর কথা ছিল, আমরা সেরকম পথ পেয়ে গেছি :D । কাজেই আমরা ৪ থেকে উপরের সারি, পরের কলাম, এভাবে বাকি সংখ্যাগুলি বসাতে থাকবো যতক্ষন কোন ব্যাতিক্রম না পাই। অর্থাৎ ঃ

এখন আমরা ৭ বসানোর জন্য দেখি যে একটি ব্যাতিক্রম হয়ে গেছে। হিসাব অনুযায়ী গ্রিডের বাইরে চলে যায়, এখন আমাদের এটা ১ নং ব্যাতিক্রমের মধ্যে পরে, কিন্তু যেহেতু, ৬ এর নিচে খালি একটি ঘর আছে, কাজেই, এটি আসলে ২ নং ব্যাতিক্রম। তাই আমরা ৬ এর ঠিক নিচে ৭ কে বসাবো এভাবে ঃ

এখন আমরা খেয়াল করলে দেখবো এখানে আসলে ১ নং ব্যাতিক্রমটি হয়েছে, কারন ৭ এর নিচে ঘর ফাঁকা নেই, আবার গ্রিড এর বাইরেও চলে যাচ্ছে। তাই আমরা উপরের সারির সবচেয়ে বামদিকে পরের সংখ্যাকে বসাবো এভাবে ঃ

তৃতীয় ব্যাতিক্রমঃ এখন আমরা আসি ৩ নং ব্যাতিক্রম এ। এটি আসলে এমনিতেই বুঝা যায়, আমাদের হিসাবে এখন যাওয়ার কথা উপরে, কিন্তু গ্রিড এর বাইরে হওয়াতে আমরা দেখবো ৮ এর নিচে ফাঁকা ঘর আছে কিনা, ফাঁকা নেই, কাজেই হিসাব মত আমাদের সবচেয়ে বামের ঘরে ব্যাতিক্রম ১ অনুযায়ী মান বসানোর কথা, কিন্তু এটিও গ্রিড এর বাইরে  -_- । এটিই আমাদের ৩নং ব্যাতিক্রম। এক্ষেত্রে আমাদের ঠিক পরের কলামের নিচ থেকে যে ঘর ফাঁকা পাবো, সেখানে মান বসায়ে দিবো।

সারি, কলাম, কর্ণ সকল ক্ষেত্রে যোগফল ১৫ এসেছে, কাজেই আমাদের উদ্দেশ্য সফল। এভাবে আমরা যেকোন বেজোর সংখ্যক গ্রিড এর জন্য ম্যাজিক স্কয়ার বানাতে পারবো।
 ** ৭ এর জন্য আমরা একটি ম্যাজিক স্কয়ার দেখি ঃ
এক্ষেত্রে ম্যাজিক কন্সটেন্ট, c = 175

আমরা ঠিক 3x3 এর মত করে 7x7 গ্রিডটি সাজালাম। এখন সারি, কলাম, কর্ণ সব যোগ করে আমরা ১৭৫ পাবো :)
ইটারেশন গুলিতে বুঝতে সমস্যা হলে, হাতে কলমে এভাবে একটি করলেই আশা করি সবাই বুঝে যাবে।
এখন আমাদের লাগবে জোড় সংখ্যক গ্রিডের জন্য সমাধান। আমাদের প্রথমে ১ টি জিনিস দেখা লাগবে আগে, আমরা প্রথমে দেখবো যে গ্রিডটি কে ভাঙলে যে গ্রিড পাওয়া যায়, সেগুলি জোড় নাকি বেজোড়। ২ টির ভিন্নতার কারনে ভিন্ন ভিন্ন মান আসবে।
আমরা ২ টির জন্যই দেখবো এখানে ঃ part - 2