Calculate Summation of GCD(i,n); for i = 1 to n

আমাদের এবারের কাজ হল ১ থেকে n পর্যন্ত সবগুলো সংখ্যার সাথে n এর গ.সা.গু. বের করে তাদের যোগফল বের করা।

শুনতে ব্যাপারটি সহজ মনে হলেও, আসলে ঠিক সহজ না, যদি না আমরা সঠিক এপ্রোচ না জানি। নরমালি আমরা যখন প্রোগ্রামিং এ নতুন, তখন আমরা ১ থেকে n পর্যন্ত লুপ চালায়ে তাদের যোগফল বের করতাম।

	#include <bits/stdc++.h>
	using namespace std;
	#define ll long long
	int gcd_sum(int n)
	{
	ll sum = 0;
	for(int i = 1; i <= n; i++)
	sum += __gcd(i,n); // built in function to calculate GCD
	return sum;
	}
	int main()
	{
	ll n;
	cin >> n;
	cout << gcd_sum(n) << endl;
	return 0;
	}

view raw gcd_sum basic.cpp hosted with ❤ by GitHub

এখন কথা হচ্ছে, এভাবে করলে আমরা বড় বড় সংখ্যার জন্য আমরা TLE খাবো। যেমন n = 1000000000 এর জন্য আমাদের প্রচুর সময় লাগবে, ( ইচ্ছে করলে উপরের কোডটি নিজ দায়িত্বে রান করে দেখে নিতে পারো :3 )
এখন তাহলে আমরা কিভাবে এর সমাধান করবো? খেয়াল করলে দেখবো যে, আমরা যখন ১ থেকে n পর্যন্ত স্বাভাবিক সংখ্যাগুলোর সাথে n এর গসাগু বের করার চেষ্টা করছি,তখন আসলে আমরা প্রতিবার n এর সবগুলো বিভাজক( all divisor ; there maybe multiple occurance of divisors) নিয়ে তাদের যোগফলটা নিচ্ছি। যেমনঃ  n = 8 হলে, gcd(1,8) + gcd(2,8) + gcd(3,8) + gcd(4,8) + gcd(5,8) + gcd(6,8) + gcd(7,8) + gcd(8,8)  = 1+2+1+4+1+2+1+8 = 20।
এখানে খেয়াল করে দেখি যে, আমরা কিন্তু ১,২,৪,৮ ছাড়া আর কিছু যোগ করছিনা! আর এই সংখ্যাগুলি কিন্তু আসলে ৮ এর বিভাজক (divisor)। আমরা আপাতত গোনায় বাদ রাখলাম কোন সংখ্যা কতবার নিচ্ছি, কিন্তু আসল কথা হচ্ছে আমরা n এর divosr গুলিকেই নিচ্ছি আমাদের ক্যাল্কুলেশন এর জন্য। তাহলে বুঝা যাচ্ছে আমাদের আসলে n এর divisor গুলি বের করতে হবে। আর আমরা O(√n) কমপ্লেক্সিটি তে n এর divisor বের করতে পারি। কাজেই, n = 1000000000 এর জন্য আমরা 31622.77.. কমপ্লেক্সিটিতে divisor গুলি বের করে, এরপরে আমাদের বাকি কাজ করবো।
তাহলে  n = 8 এর জন্য, আমাদের যোগফল অনেকটা এরকম হবে দেখতেঃ

এখানে coef1,coef2... এগুলোই আমাদের বের করতে হবে। divisor গুলি আমরা আগেই পেয়ে গেছি।
১ থেকে n পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর সাথে n এর গ.সা.গু. বের করতে গেলে,গ.সা.গু = ১ কতবার আসবে, সেই সংখ্যাটা আসলে n এর অয়লার ফাংশন। অয়লার ফাংশন সম্পর্কে না জানলে এই লিঙ্ক দেখার অনুরোধ রইল আগে।
আচ্ছে এখান থেকে আমরা একটু মনযোগ দেয়ার চেষ্টা করি,

phi (8) = 4.
phi (4) = 2.
phi (2) = 1.
phi (1) = 1.
আমরা এখানে আসলে ৮ এর divisor গুলির phi এর মান দেখলাম।
আচ্ছে এখন দেখা যাক, phi(8) = 4 এর জন্য, কোন কোন জোড়া নিলে আমাদের গসাগু ১ আসছেঃ
(1,8), (3,8), (5,8), (7,8); কাজেই, আমাদের coef1 = 4 হবে।

( coef1*(1); এই 1 এর মানে হচ্ছে, ঐসব জোড়া আমরা নিবো, যাদের মাঝের গ.সা.গু. = 1 হবে, এরকম জোড়া আছে 4 টি, কাজেই আমাদের coef1 = 4 )
এখন আমরা বের করবো coef2 এর মান। কাজেই আমাদের বের করতে হবে এমন কতটি জোড়া আছে, যারা 8 এর সাথে গ.সা.গু.  = 2 হবে। এজন্য আমাদের দরকার phi(8/2) = phi(4) এর মান। আমরা আগেই বের করে রেখেছি, phi(4) = 2. কাজেই আমাদের coef2 = 2. একইভাবে, coef3,coef4 বের করতে পারবো আমরা। ফাইনালি,
coef1 = phi(8/1) = phi(8) = 4. ; divide by first divisor = 1.
coef2 = phi(8/2) = phi(4) = 2. ; divide by second divisor = 2.
coef3 = phi(8/4) = phi(2) = 1. ; divide by third divisor = 4.
coef4 = phi(8/8) = phi(1) = 1. ; divide by forth divisor = 8.


কাজেই, আমাদের ফাইনাল রেজাল্ট ঃ

phi(8/1)*1 + phi(8/2)*2 + phi(8/4)*4 + phi(8/8)*8
= 4*1 + 2*2 + 1*4 + 1*8 = 20 

অ্যালগরিদম (Algorithm)

without pre computing phi values:

	#include <bits/stdc++.h>
	using namespace std;
	int phi(int n)
	{
	int result = n;
	for(int i = 2; i*i <= n; i++)
	{
	if( n%i == 0) result = result - result/i;
	while( n%i == 0) n /= i;
	}
	if( n>1 )result = result - result/n;
	return result;
	}
	int gcd_sum(int n)
	{
	int sum = 0;
	for(int i = 1; i*i <= n; i++)
	{
	if(n%i == 0) // found divisor
	{
	int div = i;
	int res = n/i;
	sum += phi(n/div) * i;
	if( div != res)
	sum += phi(n/res) * (n/i);
	}
	}
	return sum;
	}
	int main()
	{
	int n;
	cin >> n;
	cout << gcd_sum(n) << endl;
	return 0;
	}

view raw gcd_sum without pre_compute.cpp hosted with ❤ by GitHub

এখন আমাদের অনেক কুয়েরি থাকলে আমাদের আগে থেকে phi এর মান বের করে রাখতে হবে। ঐ ব্যাপারটা তোমরা নিজেরা করে দেখো। আবার যদি আমাদের n এর মান অনেক বড় হয়ে যায় যে, আমরা O(√n) এও TLE খাচ্ছি, তাহলে আমাদের number theorem এর অন্যরকম এপ্রোচ নিতে হবে। এগুলো নিয়ে পরে আলোচনা করা যাবে।